soal jawab fungsi kuadrat

Funsi Kuadrat
1. Lukislah grafik fungsi y = 4x - x2 !
Jawab :
Titik potong dengan sumbu X :
1 0 .
0 (4 ) 0 4
a kurva terbuka ke bawah
x x x dan x
= - < Þ
= - Þ = =
Kurvanya :
Y
0 4 X
2. Bila fungsi y x x m 2
= 2 2 + 3 - 1 mempunyai nilai minimum -
8
15 maka tentukan m !
Jawab :
1
4.2
3 4.2.( )
8
13
4
4 2
2 2 1
min Û =
-
- -
Þ - =
-
= - m
m
a
y b ac
3. Bila parabola y = ax2 + bx + c seperti gambar di bawah ini, maka tentukan syarat a, b, c
dan D !
Y
X
Jawab :
Kurva terbuka ke bawah maka a < 0
= - 2. . = (- )(- )(+ ) = + p b a x maka b > 0
Kurva memotong sumbu Y di y positif maka c > 0
Kurva memotong sumbu X di dua titik maka D > 0
4. Agar ungkapan (t + 1)x2 - 2tx + (t - 4) bernilai negatif untuk semua x, maka tentukan t
Jawab :
Definit negatif syaratnya a < 0 dan D < 0
3
(1) (2) 4
...........(2)
3
. 0 ( 2 ) 4.( 1)( 4) 0 4
. 0 1 0 1 ............(1)
2
Ç Þ < -
< Þ - - + - < Û < -
< Þ + < Û < -
t
ii D t t t t
i a t t
1
5. Tentukan k agar grafik fungsi 2
y = kx2 + (k - 4)x + 1 seluruhnya berada di atas sumbu X !
Jawab :
Definit positif syaratnya a > 0 dan D < 0
(1) (2) 2 8
. 0 ( 4) 4 . 0 2 8 ..........(2)
. 0 0 ............(1)
2
2 1
Ç Þ < <
< Þ - - < Û < <
> Þ >
k
ii D k k k
i a k
6. Tentukan persamaan fungsi dari gambar di bawah ini !
Y
X
-3
(-1,-4)
Jawab :
1( 1) 4 2 3
( 3,0) 0 ( 3 1) 4 1
( 1, 4) ( 1) 4
( )
2 2
2
2
2
= + - Û = + -
- Þ = - + - Û =
- - Þ = + -
= - +
Jadi y x y x x
Melalui titik a a
Puncak y a x
y a x x yp p
7. Tentukan persamaan fungsi di bawah ini !
Y
3
X
1 3
Jawab :
1( 1)( 3) 4 3
(0,3) 3 (0 1)(0 3) 1
( )( ) ( 1)( 3)
2
1 2
= - - Û = - +
Þ = - - Û =
= - - Þ = - -
Jadi y x x y x x
Melalui a a
y a x x x x y a x x
8. Jika dari fungsi f (x) = ax2 + bx + c diketahui f(0) = -6, f(1) = 5 dan f(2) = 28 maka
tentukan x jika f(x) = 0 !
Jawab :
2
2
3
3
2
( ) 0 6 5 6 0 (3 2)(2 3) 0
( ) 6 5 6
(1) (2) 6 5
(2) 4 2 6 28 2 17 ..........(2)
(1) 6 5 11 .........(1)
(0) 6 0 0 6 6
2
2
= = -
= Þ + - = Û - + =
= + -
Þ = =
= + - = Û + =
= + - = Û + =
= - Þ + + = - Û = -
x atau x
f x x x x x
Jadi f x x x
Dari dan a dan b
f a b a b
f a b a b
f c c
9. Tentukan a agar garis y = 2x+ a memotong kurva y = x2 - x + 3 !
Jawab :
4
0 ( 3) 4.1.(3 ) 0 3
3 2 3 3 0
2
2 2
³ Þ - - - ³ Û ³
- + = + Û - + - =
D a a
x x x a x x a
10. Tentukan a agar garis 2x + y - a = 0 menyinggung parabola y = x2 - 2x + 2 !
Jawab :
0 0 4.1.(2 ) 0 2
2 2 2 2 0
2
2 2
= Þ - - = Û =
- + = - + Û + - =
D a a
x a x x x a
11. Tentukan koordinat titik puncak dari fungsi f (x) = 2x2 - 4x + 1 !
Jawab :
) (1, 1)
4.2
,16 4.2.1
2.2
) ( 4
4
, 4
2
(
2
= -
-
= -
-
= - -
a
b ac
a
TP b
12. Grafik y = 6 + ax - 5x2 memotong sumbu X. Jika salah satu titik potongnya (-2,0) maka
tentukan a !
Jawab :
0 = 6 - 2a - 5(- 2)2 Û a = - 7
13. Fungsi kuadrat y = f (x) melalui titik (2,5) dan (7,40). Jika sumbu simetri x = 1 maka
tentukan nilai ekstrimnya !
Jawab :
Melalui a b c
Melalui a b c
Misal fungsi tersebut y ax bx c
a b
a
x b
Þ = + +
Þ = + +
= + +
= - = Û + =
(7,40) 40 49 7
(2,5) 5 4 2
1 2 0 .........(1)
2
2
-
45a + 5b = 35 Û 9a + b = 7 ...........(2)
1 0 1 2.1 5 4
2 5
(1) (2) 1, 2 5
2
min
2
= > = - + =
= - +
Þ = = - =
Karena a maka y
Jadi y x x
Dari dan a b dan c
3
14. Grafik y = ax2 + bx - 1 memotong sumbu X di titik ( ,0) 2
1 dan (1,0). Tentukan nilai
ekstrimnya !
Jawab :
8
1
4( 2)
9 4( 2)( 1)
4
4
2 3 1
(1) (2) 2 3
(1,0) 0 1 1 .............(2)
( ,0) 0 1 2 4 ..........(1)
2
max
2
2
1
4
1
2
1
=
- -
= - - -
-
= -
= - + -
Þ = - =
Þ = + - Û + =
Þ = + - Û + =
a
y b ac
Jadi y x x
Dari dan a dan b
Melalui a b a b
Melalui a b a b
15. Jika fungsi y = ax2 + 6x + (a + 1) mempunyai sumbu simetri x = 3. Tentukan nilai
ekstrimnya !
Jawab :
9
4( 1)
36 4( 1).0
1 6
2
3
max
2
=
- -
= - -
= = - Û = - Þ = - +
y
a y x x
a
x b
16. Jika fungsi y = 2ax2 + 4x + 5a mempunyai nilai maksimum 3, maka tentukan nilai
25a2 + 5a !
Jawab :
25 5 25( ) 5( ) 2
2
5
2
1 2 0
(5 2)( 1) 0
4.2
3 16 4.2 .5
5 2
2
5
2 2
5
2 8
5 4
+ = - + - =
= - Þ = - - -
= <
Û + - =
-
= -
a a
a y x x
a tidak memenuhi karena syarat a
a a
a
a a
17. Jika fungsi f (x) = px2 - ( p + 1)x - 6 mencapai nilai tertinggi untuk x = -1 maka tentukan
p !
Jawab :
3
1
2
= - 1 = + 1 Û p = -
p
x p
18. Fungsi y = (x - 2a)2 + 3b mempunyai nilai minimum 21 dan memotong sumbu Y di titik
berordinat 25. Tentukan a + b !
Jawab :
1 1 7 6
1 1 7 8
(0,25) 25 (0 2 ) 21 1
3 21 7
2
= - Þ + = - + =
= Þ + = + =
Þ = - + Û = ±
= Û =
a a b
a a b
Melalui a a
b b
4
19. Jika parabola f (x) = x2 - bx + 7 puncaknya mempunyai absis 4, maka tentukan
ordinatnya !
Jawab :
( ) 8 7 (4) 16 32 7 9
8
2.1
4
= 2 - + Þ = - + =
= = Û =
Jadi f x x x f
x b b
20. Jika a, b dan c bilangan real positif sembarang, maka lukislah f (x) = - ax2 - bx + c !
Jawab :
:
0 tan
4( ) 4 0
.
2 2
0 0
1 2
2 2
Kurvanya
akar akarnya beda da
a
x x c
D b a c b ac berpotongan di dua titik
atau x di x negatif
a
b
a
x b
Karena a maka a kurva terbuka ke bawah
p
< Þ -
-
=
= - - = + > Þ
= -
-
= +
-
= - =
> - < Þ
Y
X
21. Jika f (x) = px2 + r seperti gambar di bawah ini, maka tentukan syarat p dan r !
Y
X
Jawab :
Kurva menghadap ke bawah maka p < 0
Kurva memotong sumbu Y di y positif maka r > 0
22. Grafik f (x) = ax2 + bx + c seperti di bawah ini. Jika c2 - 4ac > 0 maka tentukan a, b dan
c !
Y
X
5
Jawab :
Karena menghadap ke atas maka a > 0
0 0
2
= - > Þ b <
a
x b p
Karena salah satu akarnya 0, maka c = 0
23. Lukislah grafik y = ax2 + bx + c jika a,b,c > 0 dan b2 - 4ac > 0 !
Jawab :
b2 - 4ac > 0 artinya kurva memotong sumbu X di dua titik berbeda.
a > 0 artinya kurva menghadap ke atas.
Þ
ïþ
ïý
ü
= >
+ = - <
0
0
1 2
1 2
a
x x c
a
x x b
akar-akarnya negatif.
Kurvanya :
Y
X
24. Grafik f (x) = ax2 + bx + c dan b2 - 4ac > 0 terlihat seperti di bawah ini, maka tentukan a
dan c !
Y
X
Jawab :
Kurva menghadap ke atas maka a > 0
0 1 2 = <
a
x x c maka c < 0
25. Diketahui kurva seperti di bawah ini. Tentukan fungsinya !
Y P(2,2)
X
Jawab :
Jadi y x y x x
y a x x y a a p p
( 2) 2 2
2
1
2
( ) 0 (0 2) 2 1
2
2
2 1
2 2
= - - + Û = - +
= - + Þ = - + Û = -
6
26. Suatu grafik fungsi kuadrat melalui titik (0,0) dan mempunyai sumbu simetri x = 4 serta
puncaknya terletak pada garis y = x. Tentukan fungsi tersebut !
Jawab :
Persamaan kuadrat yang mempunyai puncak (4,4) dan melalui titik (0,0) :
Jadi y x y x x
y a x x y a a p p
( 4) 4 2
4
( ) 0 (0 4) 4 1
2
4
2 1
4
1
2 2
= - - + Û = - +
= - + Þ = - + Û = -
27. Apabila sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum –3 untuk x = 2, sedangkan
untuk x = -2 fungsi berharga –11. Tentukan fungsi tersebut !
Jawab :
( 2) 3 2 5
2
( ) 11 ( 2 2) 3 1
2
2
2 1
2
1
2 2
= - - - Û = - + -
= - + Þ - = - - - Û = -
Jadi y x y x x
y a x x y a a p p
28. Suatu fungsi kuadrat diketahui f(1) = f(3) = 0 dan nilai minimum 1. Tentukan f(x) !
Jawab :
( ) 4 3
1 4 3
0 4 4 1 0
(1) (2) 16 4 ( 1) 4 1
1 4 ( 1) .........(2)
4
4
4 .......(1)
(3) 9 3 0
(1) 0
( )
2
2
2
2
2
= - + -
= - Þ = = -
+ + = Þ - + + =
Þ = - Û = +
= Û = -
-
-
Þ = -
þ ý ü
= + + =
= + + =
= + +
Jadi f x x x
a b dan c
a b c a a a
Substitusi ke a a c c a
b a c
a
b ac
b a
f a b c
f a b c
Misal f x ax bx c
29. Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (-1,3) dan titik terendahnya sama dengan
puncak dari grafik f (x) = x2 + 4x + 3 !
Jawab :
4( 2) 1 4 16 15
( ) 3 ( 1 2) 1 4
) ( 2, 1)
4
,16 4.1.3
2
( 4
2 2
2 2
= + - Û = + +
= - + Þ = - + - Û =
= - -
-
= - -
Jadi y x y x x
y a x x y a a
TP
p p
30. Tentukan n agar garis y = x + n menyinggung parabola y = 2x2 + 3x - 5 !
Jawab :
2
2 1
2 2
0 2 4.2.( 5) 0 5
2 3 5 2 2 5 0
= Þ - - - = Û = -
+ = + - Û + - - =
D n n
x n x x x x n
7
31. Tentukan a agar garis 2x + y = a memotong grafik 4x2 - y = 0 di dua titik !
Jawab :
4
0 4 4.4.( ) 0 1
4 2 2 4 2 2 0
> Þ - - > Û > -
= - + Û + - =
D a a
x x a x x a
32. Tentukan m agar grafik y = mx2 - 2mx + m di bawah garis y = 2x - 3 !
Jawab :
m tidak ada
ii D m m m m
i m
mx mx m x mx m x m
Ç Þ
< Þ + - + < Û >
<
- + = - Û - + + + =
(1) (2)
. 0 (2 2) 4 ( 3) 0 1 .......(2)
. 0 ........(1)
2 2 3 (2 2) ( 3) 0
2
2 2
33. Garis y = ax + b memotong parabola y = 2x2 + 5 di titik ( , ) ( , ). 1 1 2 2 x y dan x y Jika
4 3 1 2 1 2 x + x = dan x x = maka tentukan a dan b !
Jawab :
1
2
3 5
8
2
4
2 5 2 5 0
1 2
1 2
2 2
= = - Û = -
+ = = Û =
+ = + Û - + - =
x x b b
x x a a
ax b x x ax b
34. Suatu garis lurus mempunyai gradien –3 dan memotong parabola y = 2x2 + x - 6 di titik
(2,4). Tentukan titik potong lainnya !
Jawab :
Misal garis tersebut y = -3x + c
Melalui (2,4) maka 4 = -6 + c atau c = 10
4 12 10 22
2 2 6 3 10 ( 4)( 2) 0
= - Þ = + =
+ - = - + Û + - =
x y
x x x x x
jadi titik potong yang lain adalah (-4,22)
35. garis g melalui titik T(1,3) dan memiliki gradien m. Agar g memotong grafik y = - x2 pada
dua titik yang berbeda maka tentukan m !
Jawab :
Misal persamaan garis itu y = mx + c
Melalui titik T(1,3) maka 3 = m + c atau c = 3 – m
Jadi y = mx + 3 – m
0 4.1.(3 ) 0 6 2
3 3 0
2
2 2
> Þ - - > Û < - >
+ - = - Û + + - =
D m m m atau m
mx m x x mx m
8